Matematikte, özellikle kalkülüs ve gerçek analiz alanlarında, bir sürekli fonksiyon, argümanındaki (girdi) küçük bir değişimin fonksiyondaki (çıktı) keyfi derecede küçük bir değişikliğe karşılık geldiği fonksiyondur. Sezgisel olarak, sürekli bir fonksiyon, grafiği kalem kaldırılmadan çizilebilen bir fonksiyon olarak düşünülebilir.
Sürekliliğin farklı tanımları, uygulandığı bağlama göre değişiklik gösterir. En temel tanım, bir noktadaki sürekliliktir.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması, o noktadaki değerinin, o noktaya yeterince yakın diğer noktalardaki değerlerine "yakın" olması anlamına gelir. Daha formel olarak:
Başka bir deyişle, x, c'ye δ'dan daha yakın olduğunda, f(x), f(c)'ye ε'dan daha yakındır.
Bir fonksiyon, belirli bir aralığın her noktasında sürekli ise, o aralıkta süreklidir denir.
Üniform süreklilik, tüm aralık boyunca aynı δ'nın seçilebildiği bir süreklilik türüdür. Yani, δ değeri yalnızca ε 'a bağlıdır ve c noktasına bağlı değildir. Formel olarak:
Mutlak Süreklilik, sürekliliğin daha güçlü bir şeklidir ve Lebesgue integrali ile yakından ilişkilidir. Bir fonksiyon, mutlak sürekli ise, bir aralıktaki değerlerinin toplam varyasyonu sınırlıdır.
Ara Değer Teoremi, bir f fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekli ise ve f(a) ile f(b) arasında bir y değeri varsa, f(c) = y olacak şekilde en az bir c ∈ [a, b] noktası vardır. Bu teorem, kök bulma algoritmalarında kullanılır.
Ekstrem Değer Teoremi, bir f fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekli ise, bu aralıkta bir maksimum ve bir minimum değere sahiptir.
Süreksizlikler, bir fonksiyonun sürekli olmadığı noktalardır. Üç temel süreksizlik türü vardır:
Bir c noktasında, lim<sub>x→c</sub> f(x) limiti var, ancak f(c) tanımlı değil veya bu limite eşit değilse, bu bir kaldırılabilir süreksizliktir. Bu tür süreksizlik, f(c)'yi limitiyle aynı değere atayarak "kaldırılabilir".
Bir c noktasında, lim<sub>x→c<sup>-</sup></sub> f(x) ve lim<sub>x→c<sup>+</sup></sub> f(x) limitleri var ve sonlu, ancak birbirlerine eşit değillerse, bu bir sıçrama süreksizliğitir. Bu durumda, fonksiyon c noktasında bir "sıçrama" yapar.
Bir noktada, yukarıdaki iki türden hiçbiri gerçekleşmiyorsa, bu bir esas süreksizliktir. Örneğin, f(x) = sin(1/x) fonksiyonu x = 0 noktasında esas süreksizliğe sahiptir. Çünkü bu noktada bir limiti yoktur.
Sürekli fonksiyonlar, gerçek analiz ve kompleks analiz gibi alanlarda temel bir kavramdır. Türevlenebilirlik ve integrallenebilirlik gibi daha karmaşık kavramların temelini oluştururlar.
Doğadaki birçok fiziksel süreç sürekli fonksiyonlarla modellenebilir. Örneğin, bir nesnenin konumu zamanın sürekli bir fonksiyonudur.
Olasılık yoğunluk fonksiyonları (PDF'ler), olasılık teorisinde kullanılan sürekli fonksiyonlardır ve bir rastgele değişkenin belirli bir aralıkta değer alma olasılığını temsil ederler.
Süreklilik kavramı, metrik uzaylar gibi daha genel uzaylara da genişletilebilir. Bir f: X → Y fonksiyonu, X ve Y metrik uzayları arasında tanımlı ise, her x ∈ X noktası için, her ε > 0 için, öyle bir δ > 0 vardır ki, d<sub>X</sub>(x, y) < δ olduğunda d<sub>Y</sub>(f(x), f(y)) < ε olur. Burada d<sub>X</sub> ve d<sub>Y</sub>, sırasıyla X ve Y üzerindeki metriklerdir.
Daha da genel olarak, süreklilik topolojik uzaylar üzerinde tanımlanabilir. Bir f: X → Y fonksiyonu, X ve Y topolojik uzayları arasında tanımlı ise, Y üzerindeki her açık küme V için, f<sup>-1</sup>(V) kümesi X üzerinde açıktır. Bu, f'nin "açık kümeleri açık kümelere eşlediği" anlamına gelir.
Umarım bu makale, sürekli fonksiyonlar hakkında kapsamlı bir bilgi sağlar.